Calculer \(\operatorname{ch}(a+b)\) en fonction de \(\operatorname{ch} a\), \(\operatorname{ch} b\), \(\operatorname{sh} a\) et \(\operatorname{sh} b\)

Changement de variable
Changement de variable : on pose \(\alpha,\beta\in{\Bbb C}\) tels que $$a=\alpha i\quad\text{ et }\quad b=\beta i$$

Retrouver \(\cos\) avec la formule d'Euler
D'après la formule d'Euler, on a alors : $$\begin{align}\operatorname{ch}(a+b)&=\frac{e^{a+b}+e^{-a-b}}{2}\\ &=\frac{e^{i(\alpha+\beta)}+e^{i(-\alpha-\beta)}}{2}\\ &=\cos(\alpha+\beta)\end{align}$$

Appliquer la formule de l'angle double
Or, $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

Réutiliser les formules d'Euler et rétablir le changement de variable pour retomber sur des \(\operatorname{ch}\) et des \(\operatorname{sh}\)

D'après les formules d'Euler, on a : $$\begin{align}\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta&=\frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}2\frac{e^{i\beta}+e^{-i\beta}}2-\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\beta}}{2i}\\ &=\frac{e^{a}+e^{-a}}2\frac{e^{b}+e^{-b}}2+\frac{e^{a}-e^{-a}}{2\cancel i}\frac{e^{a}-e^{-b}}{2\cancel i}\\ &=\operatorname{ch} a\operatorname{ch} b+\operatorname{sh} a\operatorname{sh} b\end{align}$$

(Formules d'Euler, Formule de l'angle double)